Graphique dynamique (abscisses A ; ordonnées O)

→ Bornes : A_min = -0.1 A_max = 2 O_min = -100 O_max = 250

Conditions géo-climatiques du tir :

Mécanique du tir :

Avec ces données de la mécanique du tir, on peut la simulation du tir balistique , pour une durée t_vol = 4 s avec N = 400 points d'interpolation mais en en affichant seulement un sur n = 20. En bleu la distance (m) horizontale parcourue, en vert la vitesse (m/s) et en rouge la dénivellation (m).

En pointillés on trace les courbes théoriques de référence (voir la partie théorique), quasiment confondues avec celles de la simulation pour les petits projectiles.

Exemples à cliquer

Équation du mouvement dans un plan vertical

L'application du Principe Fondamental de la Dynamique conduit à l'équation différentielle suivante : -g vect{j} - k \left \|{vect{v}}\right \| vect{v} = frac{dvect{v}}{dt} avec k = frac{rho_a C_x S}{2 m}Cx est le coefficient de traînée du projectile, S sa section transversale la plus grande (son maître-couple) et ρa la masse volumique de l'air ambiant.

Le coefficient Cx est à peu près constant pour des vitesses subsoniques inférieures à 250 m/s ou bien en relation légèrement décroissante avec la vitesse pour des vitesses supersoniques supérieures à 370 m/s. Le passage d'un mode à l'autre s'accompagne d'un accroissement brutal du Cx d'environ 150 %.

On obtient une solution analytique lorsque le projectile est subsonique et la masse volumique de l'air est constante, donc avec k constant, donnant les fonctions de référence suivantes :

v_{\text{ref}}(t) = frac{v_0}{1 + k v_0 t} \quad \text{et} \quad x_{\text{ref}}(t) = frac{1}{k} \ln(1 + k v_0 t) z_{\text{ref}}(t) = (theta_0 + frac{g}{2 k v_0}) cdot x_{ref}(t) - frac{g t}{4 k v_0} (2 + k v_0 t) \theta_{\text{ref}}(t) = 2 \arctan\left(\tan\(\frac{\pi + 2 \theta_0}{4}) \cdot \exp\left\(-\frac{g t}{2 v_0} (2 + k v_0 t) \right) \right) - \frac{\pi}{2}

Pour le projectile normalisé G1 on peut voir la courbe représentant Cx en fonction du nombre de Mach (Ma = v/Vson) ; on donne alors comme référence le coefficient supersonique pour Ma ≈ 3,5 : Cxr = 0,519. Il existe d'autres références que celle-ci, mais toutes présentent une forme de courbe similaire, avec une nette différence entre vitesse subsonique et vitesse supersonique.

Notion de coefficient balistique

Il correspond à une constante caractéristique de la perte de vitesse (de v1 à v2) en fonction de la distance parcourue x2 – x1, en supposant qu'on néglige la pesanteur.

On prend alors g = 0 et la résolution de l'équation différentielle précédente conduit à : v(t) = frac{v_0}{1 + k v_0 t} puis par intégration à x(t) = x_0 + frac{1}{k} ln (1 + k v_0 t). D'où la relation caractéristique : k = frac{ln(v_1/v_2)}{x_2 - x_1} ce qui revient à : v_2 = v_1 e^{-k (x_2 - x_1)} .

On pourrait donc légitimement appeler coefficient balistique cette valeur constante, mais, même basée initialement sur un seul principe de calcul, cette notion peut changer d'un ouvrage à l'autre, d'une mesure à l'autre.

Pour les armes à poudre, on utilise une notion différente, avec la définition : C_b = frac{C_{xr}}{C_x} cdot frac{m}{D^2}Cxr est un coefficient de traînée supersonique de référence (≈ 0,519).

On a donc la relation : k = frac{pi rho_a C_{xr}}{8 C_b}. Celle-ci montre que plus Cb est grand plus la résistance à l'avancement est faible. On peut étudier le cas du tir de plombs à l'air comprimé, subsonique (BC = Cb : valeurs de l'ordre de 0,02 lb/in2) et celui du tir à balles, plutôt supersonique (valeurs de l'ordre de 0,3 ± 0,2 lb/in2).