Nombre de Mach initial : Ma ;
nombre de Reynolds initial : Re.
Coefficient de résistance massique : k m–1.
Avec ces données de la mécanique du tir, on peut la simulation du tir balistique
,
pour une durée t_vol = 4 s
avec N = 400 points d'interpolation mais en en affichant seulement
un surn = 20.
En bleu la distance (m) horizontale parcourue, en vert la vitesse (m/s)
et en rouge la dénivellation (m).
En pointillés on trace les courbes théoriques de référence
(voir la partie théorique), quasiment
confondues avec celles de la simulation pour les petits projectiles.
Exemples à cliquer
Fusil de référence (Lapua Scenar GB528 ) :
D = 8.59 ; C_x = 0.124 ; v_0 = 830 ; m = 19.44 ; alpha = 0 ;
t_vol = 4 ; N = 400 ; n = 20.
Air comprimé 10 Joules : D = 4.5 ; C_x = 1 ; v_0 = 200 ; m = 0.5 ; alpha = 0 ;
t_vol = 1.5 ; N = 150 ; n = 10.
Colt 45 : D = 11.4 ; C_x = 0.185 ; v_0 = 274 ; m = 14.9 ; alpha = 0 ;
t_vol = 1.5 ; N = 150 ; n = 10.
Grosse Bertha : D = 420 ; C_x = 0.23 ; v_0 = 333 ; m = 800000 ; alpha = 50 ;
t_vol = 50 ; N = 5000 ; n = 200 ;
Parizer Kanon : D = 210 ; C_x = 0.11 ; v_0 = 1600 ; m = 125000 ; alpha = 55 ;
t_vol = 196 ; N = 9800 ; n = 490.
Équation du mouvement dans un plan vertical
L'application du Principe Fondamental de la Dynamique conduit à
l'équation différentielle suivante : -g vect{j} - k \left \|{vect{v}}\right \| vect{v} = frac{dvect{v}}{dt}
avec k = frac{rho_a C_x S}{2 m}
où Cx est le coefficient de traînée du projectile,
S sa section transversale la plus grande (son maître-couple) et
ρa la masse volumique de l'air ambiant.
Le coefficient Cx est à peu près constant pour des vitesses subsoniques
inférieures à 250 m/s ou bien en relation légèrement décroissante avec la vitesse
pour des vitesses supersoniques
supérieures à 370 m/s. Le passage d'un mode à l'autre s'accompagne d'un accroissement brutal du Cx d'environ 150 %.
On obtient une solution analytique lorsque le projectile est subsonique et
la masse volumique de l'air est constante, donc avec k constant,
donnant les fonctions de référence suivantes :
v_{\text{ref}}(t) = frac{v_0}{1 + k v_0 t} \quad \text{et} \quad
x_{\text{ref}}(t) = frac{1}{k} \ln(1 + k v_0 t)z_{\text{ref}}(t) = (theta_0 + frac{g}{2 k v_0}) cdot x_{ref}(t)
- frac{g t}{4 k v_0} (2 + k v_0 t)\theta_{\text{ref}}(t) =
2 \arctan\left(\tan\(\frac{\pi + 2 \theta_0}{4}) \cdot
\exp\left\(-\frac{g t}{2 v_0} (2 + k v_0 t) \right) \right) - \frac{\pi}{2}
Pour le projectile normalisé G1 on peut voir la courbe représentant Cx en fonction du nombre de Mach
(Ma = v/Vson) ;
on donne alors
comme référence le coefficient supersonique pour Ma ≈ 3,5 : Cxr = 0,519.
Il existe d'autres références que celle-ci, mais toutes présentent une forme de courbe similaire,
avec une nette différence entre vitesse subsonique et vitesse supersonique.
Notion de coefficient balistique
Il correspond à une constante caractéristique de la perte de vitesse
(de v1 à v2) en fonction de la distance
parcourue x2 – x1, en supposant qu'on néglige la pesanteur.
On prend alors g = 0 et la résolution de
l'équation différentielle précédente conduit à :
v(t) = frac{v_0}{1 + k v_0 t}
puis par intégration à x(t) = x_0 + frac{1}{k} ln (1 + k v_0 t).
D'où la relation caractéristique :
k = frac{ln(v_1/v_2)}{x_2 - x_1}
ce qui revient à : v_2 = v_1 e^{-k (x_2 - x_1)}
.
On pourrait donc légitimement appeler coefficient balistique cette valeur constante,
mais, même basée initialement sur un seul principe de calcul, cette notion
peut changer d'un ouvrage à l'autre, d'une mesure à l'autre.
Pour les armes à poudre, on utilise une notion différente, avec la définition :
C_b = frac{C_{xr}}{C_x} cdot frac{m}{D^2}
où Cxr est un coefficient de traînée supersonique
de référence (≈ 0,519).
On a donc la relation :
k = frac{pi rho_a C_{xr}}{8 C_b}. Celle-ci montre
que plus Cb est grand plus la résistance à l'avancement est faible.
On peut étudier le cas du tir de plombs à l'air comprimé, subsonique
(BC = Cb : valeurs de l'ordre de 0,02 lb/in2)
et celui du
tir à balles, plutôt supersonique (valeurs de l'ordre de 0,3 ± 0,2 lb/in2).