Les formules intermédiaires

Liens entre le taux annuel de t % et le taux mensuel financier usuel i : on a (1 + i)^{12} = 1 + 0,01 cdot t et donc i = (1 + 0,01 cdot t)^{1/12} - 1.

Relation de récurrence pour un versement mensuel v au taux mensuel i : C_{k+1} = (1 + i) C_k + v (v > 0 pour un placement, ou v < 0 pour un remboursement/retrait).

D'où l'expression du capital après k versements : C_k = (C_0 + frac{v}{i}) (1 + i)^k - frac{v}{i}.

Cas d'un placement au taux i_p avec C₀ = 0 ; le capital obtenu après k versements est : C_k = frac{v}{i_p} ((1 + i_p)^k - 1).

Cas d'un emprunt au taux i_c avec a = -v (annuité) ; le capital restant dû après k versements est : C_k = (C_0 - frac{a}{i_c}) (1 + i_c)^k + frac{a}{i_c}.

D'où l'annuité d'un emprunt sur n mois : color{blue} a = frac{C_0 i_c}{ 1 - (1 + i_c)^{-n}}.

Capital restant placé après k retraits d'un montant v : color{red} C_k = (C_0 - frac{v}{i_p}) (1 + i_p)^k + frac{v}{i_p}.

La feuille de calcul

Avec les données ci-dessous on calcule : Delta_u et Delta_r.

Cas de taux identiques (modifier ici t_p pour obtenir l'égalité t_c = t_p ; et alors Δ_r est toujours nul).

Cas quelconque : t_p % par an et t_c % par an.

Cas d'un montant d'achat différent (à modifier) : A €.

Cas d'une durée différente : N = 20 ans, donc en n = 12*N mois.

Est-il intéressant d'emprunter une somme dont on dispose déjà ?

Positionnement du problème

On veut faire un achat d'un montant de A = 18000 €. On dispose de la somme, déjà placée à t_p = 3,25 % par an, mais qu'on peut garder pour faire un achat à crédit au taux de t_c = 5,5 % par an, avec un remboursement sur n mois.

Vaut-il mieux payer cash et ne pas faire de crédit, ou garder ses liquidités et payer à crédit ?

Étude de la problématique

Principes et définitions

Pour rembourser, faut-il encore en avoir les moyens ! Donc on admet qu'au fil des mois l'acheteur voit sont épargne globale E évoluer en lui permettant toujours d'honorer ses remboursements.

On appelle E₁(k) l'épargne globale à la fin du mois k, dans le cas où l'acheteur paie cash à l'instant 0, et E₂(k) l'épargne globale à la fin du mois k, dans le cas où il paie à crédit depuis l'instant 0.

Un raisonnement usuel mais…

On fait le bilan en fin de remboursement, comme suit : E_2(n) = E_1(n) + A cdot (1 + i_p)^n - n v, en disant que dans le cas du crédit la somme placée a produit des intérêts composés diminués des n versements pour rembourser le crédit.

D'où une différence d'épargne usuelle de : Delta_u = E_2(n) - E_1(n) = A cdot (1 + i_p)^n - n v, base d'une proposition à un acheteur de s'engager dans un crédit pour qu'il puisse épargner encore plus.

Avec les valeurs indiquées ci-dessus on obtient un remboursement mensuel de v € et un bilan financier de Delta_u €, qui incite à choisir d'acheter à crédit.

L'analyse usuelle part du principe qu'on rembourse à chaque fois une partie du capital alors que les intérêts composés sont calculés sur la somme globale ; donc l'acheteur peut emprunter avantageusement à un taux légèrement supérieur à celui du placement.

Le raisonnement précédent paraît irréprochable et limpide, mais il est approximatif et surtout… avantageux pour la banque. Tout simplement par ce qu'on oublie de traiter les deux cas à part, avec des flux financiers mensuels dans les deux sens : d'épargne et de remboursement.

On doit donc traiter les deux cas séparément et précisément, en notant dès maintenant que

puisqu'à l'instant initial (k = 0) l'épargne est diminuée de A lorsqu'on paie cash, et qu'ensuite, chaque mois la différence d'épargne est dûe uniquement au fait que dans un cas l'épargne A (bloquée au départ) a produit des intérêts composés mais qu'on a déboursé v €, tandis que dans l'autre les v € sont placés, ce qui est possible puisqu'on admet a priori la solvabilité de l'acheteur pour un éventuel crédit.

Il ne reste plus qu'à détailler les calculs en partant du principe qu'en dehors d'une somme de v € réservée dans les deux cas, les gains mensuels sont utilisés de la même manière, tant pour les dépenses que pour l'épargne, avec la seule contrainte d'un minimum d'épargne pour garantir la solvabilité du crédit.

Premier cas : on paie cash

L'acheteur est quitte dès le mois 0 et ne rembourse rien, mais en revanche on admet qu'il épargne v € par mois, avec un taux minimal de t_p % par an (minimal puisqu'il a choisi de se débarrasser en une fois d'un capital placé à ce taux).

Le bilan au bout des n mois d'épargne est, uniquement avec ce placement : B_1 €.

Second cas : on paie à crédit

L'acheteur rembourse chaque mois v € et garde son placement de t_p % par an et toute autre épargne est identique à celle du second cas, alimentée en partie par les gains mensuels complétant la somme à rembourser.

Le bilan au bout des n mois d'épargne est, uniquement avec ce placement : B_2 €.

Différences d'épargnes comparées

Ainsi on en déduit la différence d'épargne réelle Delta_r €, à comparer avec la différence usuellement calculée : Delta_u €.

Formule générale

On peut aussi ne considérer qu'un cas : le placement initial sert à rémunérer le crédit. Alors en appelant C_k le capital placé restant au bout de k mois, on a la relation :

C_n = A cdot (1+i_p)^n left(1 - frac{i_c}{i_p} frac{1 - (1 + i_p)^{-n}}{ 1 - (1 + i_c)^{-n}}right)

Soit ici, avec les valeurs fournies : C_n €. On retrouve bien le résultat précédent.