Usage de la Formule de Colebrook

On veut calculer, sous la forme d'une baisse de pression, la perte de charges dans une conduite de diamètre constant D et de longueur L où circule un liquide incompressible.

Pour cela on utilise les relations classiques suivantes,

Delta P = lambda frac{L}{D} frac{rho V^2}{2} avec color{red} frac{1}{sqrt{lambda}} = -2\ text{log} left(frac{k/D}{3,71} + frac{2,51}{R_e sqrt{lambda}} right)

la première découlant de la formule de Darcy et la seconde étant la formule de Colebrook.

Ici k est la rugosité, et λ, appelé coefficient de perte de charges ou coefficient de friction, ou encore coefficient de frottement, est défini implicitement par la formule de Colebrook. Cette dernière a permis de construire l'abaque de Moody, mais on peut aussi déterminer λ par un simple script de calcul numérique, via ce document applicatif.

Détermination numérique

On se donne (pour une section liquide constante mais non circulaire, on peut prendre D = 4 S/P_m où P_m est appelé périmètre mouillé, celui de ladite section, d'aire S) :

Les données précédentes permettent de déterminer que : lambda et donc que la perte de charges (sous forme d'une baisse de pression) est : ΔP Pa (soit bar).

Compléments : Mécanique des Fluides

Relation de Bernoulli

En supposant que le fluide —incompressible— s'écoule d'un point ➀ (donc en amont) vers un point ➁ (donc en aval), l'équation de conservation de l'énergie s'écrit comme une variante de la relation de Bernoulli :

frac{rho V^2_1}{2} + rho g z_1 + p_1 = frac{rho V^2_2}{2} + rho g z_2 + p_2 + Delta P

Pour un fluide circulant dans une canalisation de section constante, la vitesse est la même partout, d'où une formule plus simple (encore simplifiable pour une conduite horizontale : z₁ = z₂) :

rho g z_1 + p_1 = rho g z_2 + p_2 + Delta P

Perte de charge hydraulique

On définit la charge hydraulique H par la formule suivante, qui fournit une grandeur homogène à une hauteur de liquide :

{color{blue}H} = frac{p}{rho g} + frac{V^2}{2 g} + z ; on a donc color{red}Delta H = frac{Delta P}{rho g}.

On peut aussi compléter ces relations avec la formule de Bernoulli généralisée, incluant les dispositifs de production ou de consommation d'énergie (pompes et turbines en particulier).