Loi binomiale

On suppose une épreuve de Bernoulli, avec une probabilité p = 0,15 de succès.

On étudie le nombre de tels événements survenant lors de n = 200 épreuves répétées indépendamment les unes des autres. Soit la variable aléatoire X donnant le nombre d'événements survenus.

On sait que X suit la loi binomiale : \text{P}[X = k] = \text{C}_n^k \, p^k q^{n-k}. De plus on a E[X] = n · p et sigma = sqrt{n p (1-p)}.

On obtient alors une espérance E[X] = m et un écart-type de sigma.

Approximation par la loi Normale

On peut montrer que dès que n est assez grand avec σ ≥ 25, X suit approximativement une loi normale, c'est à dire, en utilisant la loi normale centrée réduite : \text{P}[X = k] approx frac{1}{sqrt{2 pi}} int_a^b\; \text{e}^{-t^2/2} dt avec a = frac{k - 1/2 - n p}{sigma} et b = frac{k + 1/2 - n p}{sigma}.

D'où le tableau suivant, pour k variant de k_0 = 19 à k_1 = 42 par pas de dk = 1 :