Position du problème

On cherche à compter les points à coordonnées entières dans un disque fermé de rayon R ; d'où une fonction P_ce de R, qui est ici appelée P_ce en Javascript. On peut faire les calculs uniquement avec deux boucles imbriquées, mais qui imposent alors une limitation contraignante pour le cas où R est grand…

Forme mathématique

On est conduit à résoudre en variables entières a et b, l'inégalité sqrt{a^2 + b^2} <= R^2.

On utilise alors la fonction partie entière (de x), notée ⎣x⎦ et on a, pour tout entier relatif n et tout réel x : n <= x <==> n <= left\lfloor x right\rfloor.

Solution

Tous calculs faits on trouve : P_{ce}(R) = 1 + 4 sum_{a = 0}^{left\lfloor R right\rfloor} left\lfloor sqrt{R^2 - a^2} right\rfloor .

On peut le calculer automatiquement : si R alors on a : P_ce(R) = .

Représentation graphique

La représentation graphique n'est intéressante que pour R ≤ 7 : faut-il encore pouvoir compter les points ! On peut éditer le script ci-dessous puis l'exécuter pour modifier l'aspect du graphique.